Диаграмма ниже показывает бильярдный стол особой четырехугольной формы. Четыре угла $A,B,C,D$ равны ${120}^{\circ },{90}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ соответственно, а длины $AB$ и $AD$ равны между собой.

Диаграмма слева показывает траекторию бесконечного малого бильярдного шара, начавшего движение из точки $A$ , дважды отбившегося от бортов стола и вернувшегося обратно в точку $A$ . Диаграмма справа показывает другую такую траекторию, но на этот раз шар отбился от бортов восемь раз:

На столе отсутствует трение и все отскоки являются идеально эластичными столкновениями.
Заметим, что ни один отскок не должен происходить в любом из углов стола, так как поведение шара в таком случае будет непредсказуемым.

Пусть $B(N)$ будет количеством возможных траекторий шара, начавшего движение из точки $A$ , отбившегося не более $N$ раз от бортов и вернувшегося обратно в точку $A$ .

Например, $B(10)=6$ , $B(100)=478$ , $B(1000)=45790$ .

Найдите $B({10}^9)$ .